Página nueva 0

TIPOS DE DEDUCCIÓN O REGLAS DE INFERENCIA

La deducción directa

La deducción indirecta o reducción al absurdo ( reductio ad absurdum)

TIPOS DE CÁLCULOS

Un argumento es un conjunto de enunciados o proposiciones entre los cuales una proposición final, llamada conclusión, se sigue de las otras proposiciones o premisas. Pues bien, llamamos deducción a un modo de argumentar tal que el paso de las premisas a la conclusión es necesario.

La deducción formal o lógica consiste en que a partir de unas premisas, representadas con símbolos, y a través de unas reglas, obtenemos una conclusión (deducimos la conclusión).

Los símbolos en la lógica de enunciados pueden ser:

Los conectores o juntores: ¬, &, V, ->, <->

Letras enunciativas: p, q, r...etc, que representan los enunciados de la argumentación.

Símbolos auxiliares: ( ), I- (este último signo se utiliza para indicar formalmente la conclusión):

Ejemplo: "si graniza (g) o nieva (n) entonces, uso paraguas (p) o no salgo de casa (¬s) . Se da el caso de que graniza (g) . Por lo tanto, no salgo de casa (¬s) ".

La formalización de este argumento es la siguiente:

( g V n ) -> ( p V ¬s ) , g I- ¬s

Ahora bien; la deducción puede ser directa e indirecta.

Por deducción directa entendemos aquella en la cual, a través de las premisas, obtenemos la conclusión de un modo directo:

Ejemplo: Si vienes pronto, podremos ir al cine. Has venido pronto. Conlusión: vamos al cine.

Formalicémoslo: p -> c, p I- c

Ahora bien ¿Cómo se lleva a cabo la deducción formal o derivación?

El primer paso consiste en escribir las premisas iniciales con las que contamos, numerándolas y anteponiendo a la numeración un guión horizontal.

En el segundo paso, aplicando sobre las premisas las reglas de derivación que luego veremos, numeramos las derivaciones que se extraigan de ellas, pero en este caso no le antecedemos a los níumeros que le correspondan ningún guión. El último número corresponde con la obtención de la conclusión deseada. Veámoslo:

Tomando como ejemplo la formulación anterior, tendremos que derivar c (la conclusión), de las premisas p -> c y c

-1 p -> c
-2 p
3 c MP 1,2

Las letras que siguen a la línea de derivación tres se corresponden con las iniciales de la regla de cálculo utilizada, en este caso, el Modus Ponens: dada una implicación cualquiera, si se da el antecedente, entonces necesariamente podemos inferir el consecuente (esto se verá en el próximo capítulo). La numeración que sigue al nombre de la regla se refiere a las líneas sobre las que se ha aplicado dicha regla .

Derivemos la siguiente fórmula utilizando el Modus Ponens: p -> ( q -> r ), p -> q, p I- r

- 1 p -> ( q -> r )
- 2 p -> q
- 3 p
  4 q -> r MP 1,3
  5 q MP 2,3
  6 r   MP 4,5

p® (qÙØq)

[ p® (qÙØq) ] ® Øp

En este tipo de deducción obtenemos la conclusión de modo indirecto, negando la misma conclusión hasta llegar a una contradicción.

Los pasos de la reducción al absurdo son los siguientes:

1. Suponemos hipotéticamente la falsedad de la conclusión: ¬p
2. Esta suposición nos conduce a una contradicción: ( q & ¬q )
3. Negamos, por lo tanto, la falsedad de la suposición: ¬ ( ¬p )
4. Afirmamos la conclusión deseada: p

Antes de realizar un ejemplo concreto sobre la reducción al absurdo conviene que veamos las reglas en las que se fundamenta la deducción: las llamadas reglas de inferencia.

Modelos de cálculos

FICHA EJERCICIOS LÓGICA PROPOSICIONAL

Ejercicio 1º Simple ( Técnica del cabo suelto)

1	Juan come o ayuna	1	p W q	P
2	No ayuna	2	Ø q	P
3	Si estudia se siente satisfecho	3	z ® r	P
4	Estudia	4	z	P
C	Luego como y se siente satisfecho	C	p Ù r	C
		5	p	REWne 1,2
		6	r	RE®aa 3,4
		7	p Ù r	RIÙ 5,6 que es la C.

Ejerc. 1º Simple Técnica de red. al absurdo)

1	Juan come o ayuna	1	p W q		P
2	No ayuna	2	Ø q		P
3	Si estudia se siente satisfecho	3	z ® r		P
4	Estudia	4	z		P
C	Luego como y se siente satisfecho	C	p Ù r		C
			5	Ø(pÙ r)	Supuesto RRA
			6	ØpVØr	RM1 5
			7	r	RE® aa 3,4
			8	p	REWne 1,2
			9	Ør	REVne 6,8
			10	rÙØr	RIÙ 7,9
			11	Ø(pÙ r)®(rÙØr)	RI® 5-11
		12	p Ù r que es la C.		RRA 11

EJERCICIO 2º SIMPLE ( técnica del supuesto condicional)

1	Si robas y se entera la policía, te detienen	1	( p Ù q ) ® r		P
2	Tú robas	2	p		P
C	Si se entera la policía, te detienen	3	q ® r		C
			4	q	S ( supuesto)
			5	p Ù q	RIÙ 2,4
			6	r	RE® aa 1,4
		7	q ® r que es la C.		RI® ms 4-6,

Ejercicio 3º Simple (Técnica del supuesto condicional)

1	Si Juan viene entonces es verdad que si Nuria se entera, le manda un aviso	1	p ® ( q ® r )		P
2	Pepita se entera	2	q		P
C	Si Juan viene, Nuria le manda un aviso	C	p ® r		C
			3	p	S
			4	( q ® r )	RE® 1,3
			5	r	RE® 2,4
		6	p ® r que es la C.		RI ® 3- 5

Ejercicio 4º Simple ( Método del supuesto)

1	Si me ha tocado la lotería entonces es verdad que si juego tengo suerte	1	p ® ( q ® r )		P
2	He jugado a la lotería	2	q		P
C	Si me ha tocado la lotería, entonces es que tengo suerte.	C	p ® r		C
			3	p	S
			4	( q ® r )	RE® 1,3
			5	r	RE® 4,2
		6	p ® r que es la C		RI ® 3,5

Ejercicio 5º Simple ( Técnica o método del cabo suelto)

1	Si Juan viene, también viene Ana	1	p®q	P
2	Nos vamos o salimos corriendo	2	r V s	P
3	Si salimos corriendo,Ana no viene	3	s®Øq	P
4	No nos vamos	4	Ør	P
C	Juan no viene	C	Øp	C
		5	s	REV 2,4
		6	Øq	RE® aa 3,5 (M.P.)
		7	Øp que es la C.	RE® nc 1,6 (M.T.)

Ejercicio 5º Simple (Técnica de reducción al absurdo)

1	Si Juan viene, también viene Ana	1	p®q		P
2	Nos vamos o salimos corriendo	2	r V s		P
3	Si salimos corriendo, Ana no viene	3	s®Øq		P
4	No nos vamos	4	Ør		P
C	Juan no viene	C	Øp		C
			5	p	SRA
			6	s	REV 2,4
			7	Øq	RE® aa 3,5 (M.P.)
			8	q	RE® aa 1,5
			9	q Ù Øq	RIÙ 7,8
			10	p ® (q Ù Øq)	RI® 5-9
		11	Øp que es la C.		RRA 10

PARA HACER MÁS EJERCICIOS

6º Ejercicio

"SI TE VAN BIEN LOS ESTUDIOS O TIENES MUCHA CAPACIDAD O DEDICAS MUCHO TIEMPO A ESTUDIAR.

SI TE ANIMAN TUS PADRES TE VAN BIEN LOS ESTUDIOS.

TE ANIMAN TUS PADRES

NO TIENES MUCHA CAPACIDAD

CONCLUSION: LE DEDICAS MUCHO TIEMPO A ESTUDIAR"

1- p ®(r V n) Si te van bien los estudios o tienes mucha capacidad o dedicas mucho tiempo a estudiar

2- m®p Si te animan tus padres te van bien los estudios

3- m Te animan tus padres

4- Ør No tienes mucha capacidad

CONC: n Le dedicas mucho tiempo al estudio

1- p ®(r V n) P

2- m®p P

3- m P

4- Ør P

5- p RE®aa(MP) 2,3

6- r V n RE®aa(M.P.) 5,1

7- n RE V 4,6 QUE ES LO QUE QUERÍAMOS PROBAR

7º Ejercicio

Yo tengo unos ahorros. Si tengo unos ahorros puedo prestar un poco de dinero a un amigo. Si no me ayudan mis familiares, entonces tendré problemas. Luego si no tengo problemas, entonces es que me ayudan mis familiares y puedo prestar dinero a un amigo.

8º Ejercicio

Si lo considero necesario compro una caja de diskettes. Si compro la caja de diskettes y no los pierdo, los uso con los alumnos. Si los uso con los alumnos me puedo encontrar un virus. Luego, si compro una caja de diskettes puedo encontrar un virus

9º Ejercicio

"O no aumenta la presión fiscal o no crece la inversión. Aumenta la presión fiscal. Luego no crece la inversión"

10º Un caso de reducción al absurdo

1	p V q
2	p ®r
3	q ®r
C	r
5		Ør
6		Øp
7		q
8		r
9		rLØr
10		Ør®r LØr
11	r

11º

1	p ®Ø(qLr)
2	p ® (qLr)
C	Øp

12º

1	p ®Ør)
2	q®p
3	q
C	Ør

13º

1	p
2	p ®q
3	p ®r
C	qLr

14º

1	(p V q) ®r
2	r®s
C	(p V q) ®s

1 - p V q

2 - Ø q

3 - z ® r

4 - z

C - p Ù r

1 - p ® q

2 - p z

3 - Ø q

4 - z ® r

5 - s

C - s Ù r

1 - p ® q

2 - Ø r W q

3 - s ® Ør

4 - s

5 - s ® t

C - Ø p Ù t

1 - p Ù q

2 - p ® Ør

3 - s ® r

C Øs Ùq

1 - p V q

2 - Øq

3 - p ® z

C z

1 - p Ù q Ù r

2 - (p Ù q) ® s

3 - Øs

C s Ù Øs

1- p Ù q

2- p ® s

3- s ®Øt

4- q ®t

C t ÙØt

1 - p

2 - p ® z

3 - Øs ® t

C Øt ® ( s Ù z )

1- ØØp

2 - p ® q

3 - q ® z

C z

EJERCICIOS PRÁCTICOS DE PROFUNDIZACIÓN:

¿Alguna de estas reglas es una regla válida de lógica? (>>>> Formular estos enunciados y aplicar la comprobación mediante el sistema de tablas de valores).
- Si una proposición molecular que consta de dos atómicas relacionadas por conjunción es falsa, entonces también son falsas las dos atómicas componentes.
- Si los dos extremos de una relación de disyunción excluyente implican la falsedad de una misma proposición, entonces la disyunción inicial es falsa.
- Si de dos proposiciones sale la misma implicación, entonces es falsa la oposición excluyente entre ambas.
- Si los dos extremos de una relación de disyunción excluyente implican la verdad de una misma proposición, entonces es falsa la disyunción inicial.
- Si vale la contradicción, entonces todo vale. (O sea si damos por válida una contradicción, ¿de ahí podemos sacar cualquier conclusión?)
- De una negación se puede sacar cualquier cosa.
- Si una proposición incluye la negación de sí misma, entonces nos lleva a una contradicción y por tanto, una proposición no puede incluir la negación de sí misma.
- Si una proposición y su negación se incluyen mutuamente, eso implica una contradicción.
Inventarse alguna posible regla lógica y comprobar su validez por el sistema de tablas de valores.

1- p ® ( q ® r ) Si Juan viene entonces es verdad que si Pepita se entera , le manda un aviso

¿vamos a ver si de esas tres premisas se puede sacar lógicamente esa conclusión?

SISTEMA DEL SUPUESTO: a partir de un supuesto: vale cuando la conclusión a demostrar es de tipo condicional

Como la conclusión es una condicional, empezamos a razonar suponiendo que se cumpla la condición

SISTEMA DEL CABO SUELTO DEL QUE TIRAR: a partir de un punto de arranque que se intuye: se observa atentamente a ver si aplicando alguna de las reglas a alguna premisa se puede llegar a justificar algo

SISTEMA DE REDUCCIÓN AL ABSURDO: si esa proposición fuera verdadera se llegaría a una contradicción y por tanto no puede ser verdadera, o sea, es falsa. Para construir el razonamiento negamos la conclusión y vemos que consecuencias se derivan de esa negación.Si llegamos a ver que se deriva una contradicción, entonces podemos afirmar que es verdadera esa conclusión.

Si de una proposición se deriva una contra dicción, esa proposicion es necesariamente falsa

"Si llevas la contraria a tus profesores (m), entonces no serás bien visto por ellos(Øn).

Por tanto no es posible llevarles la contraria y a la vez hacerles la pelota.( O sea, no pretendas a la vez llevarles la contraria y hacerles la pelota porque es imposible)"

JUAN - "Yo creo que si te van bien los estudios, entonces esque tú tienes mucha capacidad o es que le dedicas mucho tiempo a estudiar."

ELLA - "A mí me parece que si tus padres te animan, entonces los estudios te van bien".

1- p ®(r V n) Si te van bien los estudios o tienes mucha capacidad o dedicas mucho

Tipos de cálculos de Lógica Proposicional				Los cálculos en lógica proposicional se pueden afrontar de varias maneras
	4-Formulación	5-Tablas de verdad	6-Tipos de proposiones	A ) DIRECTOS: se busca un punto de apoyo por el que comenzar y de ahí se van sacando conclusiones	7-Algunas reglas
	3-Signos			B) INDIRECTOS (MEDIANTE SUPUESTOS) Se supone algo y de ahí se van sacando conclusiones	8-Otras reglas
	2-Nociones básicas			SUPONIENDO LA CONDICIÓN Cuando la concl. es una relación condicional, se supone el antecedente y ....	9-Cálculo
	1-Rasgos de este enfoque de la lógica			SUPONIENDO LA FALSEDAD DE LA CONCLUSIÓN (O POR REDUCCIÓN AL ABSURDO) Se supone la falsedad de la conclusión y se van sacando ...	10-Ejerci- cios
S.O.S.	Ejercicios prácticos de cálculo con papel y boli Controladora interactiva de cálculos

m	n	r	Øn	m®Øn	r® n	m Lr	Ø (m Lr)	(m®Øn)L(r®n)	[(m...®Ø(mLr)
1	1	1	0	0	1	1	0	0	1
1	0	1	1	1	0	1	0	0	1
0	1	1	0	1	1	0	1	1	1
0	0	1	1	1	0	0	1	0	1
1	1	0	0	0	1	0	1	0	1
1	0	0	1	1	1	0	1	1	1
0	1	0	0	1	1	0	1	1	1
0	0	0	1	1	1	0	1	1	1