REGLAS

p® (qÙØq)

[ p® (qÙØq) ] ® Øp

5º) ALGUNAS LEYES DE LÓGICA PROPOSICIONAL O DE ENUNCIADOS

Ficha resumen

PRIMERA LEY: REGLA DE ELIMINACIÓN DE LA NEGACIÓN (R EØ)

EJEMPLO

" Tú has cogido mis apuntes " p

"Tú no has cogido mis apuntes" Ø p

"No es verdad que tú no hayas cogido mis apuntes" Ø Ø p

FORMULACIÓN

vertical Ø Ø p

horizontal: Ø Ø p ® p

DEMOSTRACIÓN

p Ø p Ø Ø p Ø Ø p ® p

1 0 1 1

0 1 0 1

ES UNA TAUTOLOGÍA

1ª REGLA: DOS NEGACIONES AFIRMAN.

SEGUNDA REGLA: REGLA DE ELIMINACIÓN DE LA CONJUNCIÓN (REL)

EJEMPLO:

" Su padre vive en Alcosa y trabaja en la Renault" p L q

" Su padre vive en Alcosa" y " Su padre trabaja en la Renault" p, q

FORMULACIÓN:

p L q p L q

p q

DEMOSTRACIÓN: ( p L q ) ® p p q ( p L q ) ( p L q ) ® p

1 1 1 1

1 0 0 1

0 1 0 1

0 0 0 0

ES UNA TAUTOLOGÍA

REGLA2ª: SI UNA PROPOSICIÓN MOLECULAR COMPUESTA POR DOS ATOMICAS UNIDAS POR CON JUNCIÓN ES VERDADERA EN TON CES TAMBIÉN LO ES CADA ATÓMICA POR SEPARADO

TERCERA REGLA: REGLA DE INTRODUCCIÓN DE LA CONJUNCIÓN (RIL)

EJEMPLO:

" Mi padre es de Alcosa"

" Mi padre está parado"

"Mi padre es de Alcosa y está parado"

FORMULACIÓN p

vertical ( p L q )

horizontal ( p L q ) ® ( p L q )

DEMOSTRACIÓN: ( p L q ) ® ( p L q )
p q ( p L q ) ( p L q ) ® ( p L q )

1 1 1 1

1 0 0 1

0 1 0 1

0 0 0 1

ES UNA TAUTOLOGÍA

3ª REGLA: "SI DOS PROPOSICIONES SON VERDADERAS, TAMBIÉN LO ES LA PROPOSICIÓN RESULTANTE DE UNIRLAS LAS DOS POR CON JUNCIÓN

CUARTA REGLA: REGLA DE LA ELIMINACION DE LA CONDICIÓN AFIR MAN DO EL ANTECEDENTE O LEY DE LA AFIRMACIÓN DEL ANTECEDENTE ("PONENDO PONENS" = MP) (RE ® aa)

**Regla de eliminación de la condición afirmando el antecedente (RE-->aa) Modus Ponens (MP)**
IMAGEN

Ejemplo en palabras	Formulación vertical
Si Antonio viene entonces Ana sonríe. Antonio viene. ----------------------- Ana sonríe.	r® s r -------- s
Formulación horizontal	[(r® s)Lr]®s

EJEMPLO: "Si llueve la tierra se moja" "Si llueve la tierra se moja"

"Llueve" "La tierra se moja"

"Luego la tierra se moja" "Luego llueve"

FORMULA p ® q p ® q

vertical p q

q p

horizontal

[ (p ® q) L p ] ® q [ (p ® q) L q ] ® p

DEMOSTRACIÓN:

[ (p ® q) L p ] ® q ES UNA TAUTOLOGÍA

p q (p ® q) (p ® q) L p [ (p ® q) L p ] ® q

1 1 1 1 1

1 0 0 0 1

0 1 1 0 1

0 0 1 0 1

[ (p ® q) L q ] ® p ES UNA PROPOSICION SIMPLEMENTE CONSISTENTE

p q p ® q (p ® q) L q [ (p ® q) L q ] ® p

1 1 1 1 1

1 0 0 1 1

0 1 1 1 0

0 0 1 1 1

REGLA 4ª EN UNA RELACION CONDICIONAL SIMPLE SI ES VERDAD EL ANTECEDENTE TAMBIÉN LO ES EL CONSECUENTE, PERO NO A LA INVERSA

REGLA QUINTA: REGLA DE LA ELIMINACION DE LA CONDICION NEGANDO EL CONSECUENTE O LEY DE LA NEGACIÓN DEL CONSECUENTE (TOLLENDO TOLLENS = MODUS TOLLENS = MT) (RE ®nc)

EJEMPLO: "Si Jorge canta está contento. "Si Jorge canta está contento

No está contento. No canta.

Luego no canta" Luego está contento"

FORMULACIÓN:

p ® q p ® q

vertical Øq Ø p

Ø p q

horizontal

[ (p ® q) L Øq ] ® Øp [ (p ® q) L Ø p ] ® q

REGLA 5ª:EN UNA RELACION CONDICONAL SIMPLE ENTRE PROPOSICIONES, SI NO ES VER DAD EL CONSECUENTE TAMPOCO LO ES EL ANTECEDENTE, PERO NO A LA INVERSA

DEMOSTRACIÓN: [ (p ® q) L Øq ] ® Øp ES UNA TAUTOLOGÍA

p Ø p q Øq (p ® q) (p ® q) L Øq [ (p ® q) L Øq ] ® Ø p

1 0 1 0 1 0 1

1 0 0 1 0 0 1

0 1 1 0 1 1 1

0 1 0 1 1 1 1

[ (p ® q) L Øp ] ® Øq ES UNA PROPOS.SIMPLEM.CONSISTENTE

p Ø p q Øq (p ® q) (p ® q) L Øp [ (p ® q) L Øp ] ® Øq

1 0 1 0 1 0 1

1 0 0 1 0 0 1

0 1 1 0 1 1 0

0 1 0 1 1 1 1

REGLA SEXTA: REGLA DE INTRODUCCIÓN DEL BICONDICIONAL (RI«)

EJEMPLO:

"Si un número es par es divisible por dos" p ® q

"Si un número es divisible por dos es par" q ® p

"Un número es divisible por dos sólo si es par" p « q

"Un número es par sólo si es divisible por dos" q « p

FORMULACIÓN vertical p ® q p ® q

q ® p q ® p

p « q q « p

horizontal [ (p ® q ) L (q ® p) ] ® ( p « q )

[ (p ® q ) L (q ® p) ] ® ( q « p )

DEMOSTRACION

Una proposición con esta fórmula

[ (p ® q ) L (q ® p) ] ® ( p « q )

es una tautología

p q p®q q®p (p®q )L(q ®p) p«q [ (p ® q )L(q ® p) ]®(p«q)

1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 1 0 0 1

0 1 1 0 0 0 1

0 0 1 1 1 1 1

REGLA 6ª SI ES VERDADERA LA RELA CIÓN CONDICIONAL ENTRE DOS PRO POSICIONES p Y q , Y TAMBIÉN ES VERDADERA LA RELACION CONDICIO NAL ENTRE q Y p, ENTONCES ES VER DADERA LA RELACIÓN BICONDICIO NAL ENTRE AMBAS. NOTA: TAMBIÉN VALE AL REVÉS.

REGLA SEPTIMA: REGLA DE ELIMINACIÓN DE LA DISYUNCIÓN NEGANDO UN EXTREMO (RE VWØ)

REGLA: SI AFIRMAMOSQUE DOS PROPOSICIONES ESTÁN ENTRE SÍ EN RELACIÓN DE DISYUNCIÓN (INCLUSIVA O EXCLUSIVA) Y NEGAMOS UNA, AUTOMATICAMENTE PODE -MOS NEGAR LA OTRA

EJEMPLO

1º "Juan aprende inglés o francés.

Juan no aprende inglés

Luego aprende francés"

2º " O comes o ayunas. No comes.

Luego ayunas"

FORMULACION 1º pVq [ ( pVq ) L Øp ] ® q

Øp

2º pWq [ ( pWq ) L Øp ] ® q

Øp

DEMOSTRACIÓN:

A) ESTA PROPOSICION ES TAUTOLÓGICA

p q Øp pVq ( pVq ) L Øp [ ( pVq ) L Øp ] ® q

1 1 0 1 0 1

1 0 0 1 0 1

0 1 1 1 1 1

0 0 1 0 0 1

B) ESTA PROPOSICION ES TAMBIÉN TAUTOLÓGICA

p q Øp pWq pWq ) L Øp [ ( pWq ) L Øp ] ® q

1 1 0 0 0 1

1 0 0 1 0 1

0 1 1 1 1 1

0 0 1 0 0 1

REGLA OCTAVA: REGLA DE LA ELIMINACIÓN DE LA DISYUNCIÓN EXCLUYENTE ( R E W ) MEDIANTE LA AFIRMACIÓN

EJEMPLO: "O comes o ayunas. Comes. Luego no ayunas"

"O comes o ayunas. Ayunas. Luego no comes"

FORMULACIÓN

pWq pWq [ ( pWq) L q ] ® Ø p // [ ( pWq ) L p ] ® Ø q

p q

Ø q Ø p

DEMOSTRACIÓN

p q Ø q pWq pWq ) L p [ ( pWq ) L p ] ® Ø q

1 1 0 0 0 1

1 0 1 1 1 1

0 1 0 1 0 1

0 0 1 0 0 1

REGLA 8ª: SI TENEMOS DOS PROPOSICIONES RELACIONADAS POR DISYUNCIÓN EXCLUYEN TE, LA AFIRMACIÓN DE UNA LLEVA NECESARIAMENTE A LA NEGACIÓN DE LA OTRA

REGLA NOVENA: PRIMERA REGLA DE MORGAN (R D M 1 ) O REGLA DE LA NEGACIÓN DE LA CONJUNCIÓN ( R Ø L) , O PRIMERA DE DISTRIBUCIÓN DE LA NEGACIÓN ( R1ª D Ø ), O REGLA DE INVERSIÓN DE LA CONJUN CIÓN ( R INV L )

EJEMPLO: No es verdad que coma y cante

Luego o no come o no canta

FORMULACIÓN Ø ( p L q ) Ø ( p L q ) ® (Ø p V Øq )

Ø p V Øq

DEMOSTRACIÓN

p q Øp Øq p L q Ø ( pLq ) Ø pVØq Ø(p Lq)® Ø pVØq )

1 1 1 0 0 0 0 1

1 0 0 1 0 1 1 1

0 1 0 1 1 0 1 1

0 0 0 1 1 1 1 1

REGLA 9ª SI TENEMOS UNA PROPOSICION FORMADA POR OTRAS DOS UNIDAS POR CONJUNCIÓN Y LA NEGAMOS , ENTONCES PODEMOS AFIRMAR LA PROPOSICION FOR MADA POR LAS DOS MÁS SIMPLES ANTE RIORES, NEGADAS Y RELACIONADAS POR DISYUNCIÓN INCLUYENTE.

DECIMA REGLA : SEGUNDA REGLA DE MORGAN (RDM2), REGLA 2ª DE DISTRIBUCION DE LA NEGACIÓN (R2ª D Ø ) O REGLA DE LA NEGACIÓN DE LA DISYUNCIÓN ( R Ø V) , O REGLA DE INVERSIÓN DE LA DISYUNCIÓN ( R INV V )

EJEMPLO: No es verdad que coma o cante.

Luego ni come ni canta

FORMULACIÓN Ø ( p V q ) Ø ( p V q ) ® (Ø p L Ø q )

Ø p L Ø q

DEMOSTRACIÓN Como se puede ver es una TAUTOLOGÍA

p	q	Øp	Øq	pVq	Ø (pVq)	Ø pLØq	Ø pVq)®(Øp LØq)
1	1	0	0	1	0	0	1
1	0	0	1	1	0	0	1
0	1	1	0	1	0	0	0
0	0	1	1	0	1	1	1

ENUNCIADO DE LA REGLA 10ª SI TENE MOS UNA PROPOSICION FORMADA POR OTRAS DOS UNIDAS POR DISYUNCIÓN INCLUYENTE Y LA NEGAMOS,ENTONCES PODEMOS AFIRMAR OTRA PROPOSICON QUE CONSTE DE LAS DOS ANTERIOES NEGADAS Y UNIDAS POR CONJUNCIÓN:

11ª REGLA RRabsurdo (RRabs): REGLA DE REDUCCIÓN AL ABSURDO.

Si de una proposición se deriva una contradicción, esa proposición es necesariamente falsa

[ p® (qÙØq) ] ® Øp

EJERCICIOS PRACTICOS DE PROFUNDIZACIÓN

¿Alguna de estas reglas es una regla válida de lógica? (>>>> Formular estos enunciados y aplicar la comprobación mediante el sistema de tablas de valores).

Si una proposición molecular que consta de dos atómicas relacionadas por conjunción es falsa, entonces también son falsas las dos atómicas componentes.

Si los dos extremos de una relación de disyunción excluyente implican la falsedad de una misma proposición, entonces la disyunción inicial es falsa.

Si de dos proposiciones sale la misma implicación, entonces es falsa la oposición excluyente entre ambas.

Si los dos extremos de una relación de disyunción excluyente implican la verdad de una misma proposición, entonces es falsa la disyunción inicial.

Si vale la contradicción, entonces todo vale. (O sea si damos por válida una contradicción, ¿de ahí podemos sacar cualquier conclusión?)

De una negación se puede sacar cualquier cosa.

Si una proposición incluye la negación de sí misma, entonces nos lleva a una contradicción y por tanto, una proposición no puede incluir la negación de sí misma.

Si una proposición y su negación se incluyen mutuamente, eso implica una contradicción.

Inventarse alguna posible regla lógica y comprobar su validez por el sistema de tablas de valores.