6º INTRODUCCION AL CALCULO DE LOGICA PROPOSICIONAL

  EJERCICIOS INTRODUCTORIOS  

0º EJERCICIO SIMPLE

1- ( p Ù q ) ® r

2- p

CONCL  q ® r

  ¿de esas dos proposiciones se puede sacar lógicamente esa conclusion

1-(pÙ q ) ® r                        P(remisa)

2- p                                          P(remisa)

   3 - q                                      S(upuesto)       

   4 - p Ù q                               RI Ù  (2,3)

   5 - r                                      RE ®aa (4,1)

6 - q ® r                                 RI  ® (3,5) ES LO QUE QUERIAMOS PROBAR

1º EJERCICIO SIMPLE

1- p ®  ( q  ® r )   Si Juan viene entonces es verdad que si Pepita se entera ,le           manda   un aviso          

2- q                         Pepita se entera

CONC:  p ® r        Si Juan viene, Pepita le ha avisado

  ¿De esas dos proposiciones se puede sacar lógicamente la Conclusión?

1- p ®  ( q  ® r )      P                           es una premisa                    

2- q                            P                           es una premisa

  3-  p                         S                           supongamos que es verdad

  4-  ( q  ® r )            RE® 1,3               regla elimin condic combinando líneas 1 y 3

  5-  r                          RE® 2,4               regla elimin condic combinando líneas 2 y 4 

6- p ® r                   RI ® 3,5               introduc condic combinando líneas 3 y 5          

2º EJERCICIO COMPLEJO  

1-  r®s                                              Si estudio apruebo

2- p V q                                             Puedo ser premiado  o pasar de curso

3- Ø(Ø  p®s)                                    No es verdad que si no me premian apruebo

CONCL: q L Ør                                Puedo pasar de curso y no estudiar

  ¿vamos  a ver si  de  esas tres premisas se puede sacar lógicamente  esa conclusión?

1-  r®s                       P

2- p V q                       P

3- Ø(Ø p®s)              P

4- ØpLØs                   Df  ®,3              por definición de la condición  

5- Øp                           REL    4

6- q                             REV    2,5

7- Øs                          REL     4

8- Ør                           RE®   1,7

9- q L Ør                   RIL  6,8                que es lo que queríamos demostrar

  ESQUEMA-RESUMEN: CRITERIOS PARA HACER UN CALCULO LÓGICO ELEMENTAL:

  No todos los métodos son aplicables en todos los casos.

SISTEMA DEL SUPUESTO: a partir de un supuesto: vale cuando la conclusión a demostrar es de tipo condicional  

1- p ®  ( q  ® r )                    Si me ha tocado la lotería entonces es verdad que si

                                                 jugaba tendría suerte

2- q                                          He jugado a la lotería

CONCL: p ® r                        Si me ha tocado la lotería, entonces tengo suerte.

Como la conclusión es una condicional, empezamos a razonar suponiendo que se cumpla la condición  

1- p ®  ( q  ® r )      P                          es una premisa                    

2- q                            P                           es una premisa

  3-  p                         S                           supongamos que es verdad

  4-  ( q  ® r )            RE® 1,3              regla elimin condic combinando líneas 1 y 3

  5-  r                          RE® 2,4              regla elimin condic combinando líneas 2 y 4 

6- p ® r                   RI ® 3,5               introduc condic combinando líneas 3 y 5          

  SISTEMA DEL CABO SUELTO DEL QUE TIRAR: a partir de un punto de arranque que se intuye: se observa atentamente a ver si aplicando alguna de las reglas a alguna premisa se puede llegar a justificar algo

1. p®q                  Si Juan viene, también viene Anita

2. r V s                   Nos vamos o salimos corriendo

3. s®Øq                Si salimos corriendo, Anita  no viene

4. Ør                      No nos vamos

CONC: Øp            Juan no viene

1. p®q                  P  

2. r V s                   P

3. s®Øq                P 

4. Ør                      P

5. s                        REV       2,4

6. Øq                     RE® aa 3,5  (M.P.)

7. Øp                     RE® nc 1,6  (M.T.) LO QUE SE QUERIA DEMOSTRAR

  SISTEMA DE REDUCCIÓN AL ABSURDO: si esa proposición fuera verdadera  se llegaría a una contradicción y por tanto no puede ser verdadera, o sea, es falsa. Para construir el razonamiento negamos la conclusión y vemos que consecuencias se derivan de esa negación.Si llegamos a ver que se deriva una contradicción, entonces podemos afirmar que es verdadera esa conclusión.

INTRODUCCIÓN:  

REGLA DE REDUCCIÓN AL ABSURDO.  

Si de una proposición se deriva una contra dicción, esa proposicion es necesariamente falsa

[ p® (qÙØq) ] ® Øp

Esta es la base de la demostración de la regla de reducción al absurdo

Analizamos el siguiente caso:

"Si llevas la contraria a tus profesores (m), entonces no serás bien visto por ellos(Øn).

Si les haces la pelota(r), entonces serás bien visto por tus profesores(n)

Por tanto no es posible llevarles la contraria y a la vez hacerles la pelota.( O sea, no pretendas a la vez llevarles la contraria y hacerles la pelota porque es imposible)"

a) por intuición: ¿qué os parece ese razonamiento? ¿va bien?  

b) por tabla de valores: [ (m ®Øn) L (r  ® n) ] ®  Ø (m  L r)

c) por cálculo:  formulación: m ®Øn

                                               r   ® n

                                              Ø (m  L r)

  Vamos a intentar demostrar esa conclusión por reducción al absurdo

1 - m ®Øn                           P

2 - r   ® n                             P   

3 - Ø Ø (m  L r)      S(=SUPONGAMOS QUE LA CONCL.FUERA FALSA)

4 - m  L r                             REØ (3)

5 - m                                    RE L (4)

6 - Øn                                   RE ®aa (1,5)

7 - r                                      RE  L (4)

8 - n                                      RE ®aa (2,7)

9 - nLØn                              RIL(6,8)   LO CUALES UNA CONTRADICCION

10 - Ø (m  L r)                     REGLA DE REDUCCION AL ABSURDO     

EJERCICIOS DE CONFIRMACIÓN

EJERCICIO 1º

UNA CONVERSACION:  

JUAN - "Yo creo que si te van bien los estudios, entonces esque tú tienes mucha capacidad o es que le dedicas mucho tiempo a estudiar."

ELLA - "A mí me parece que si tus padres te animan, entonces los estudios te van bien".

JUAN - " A MI ME ANIMAN MUCHO MIS PADRES"

ELLA- " PERDONA, PERO CREO QUE TU NO TIENES MUCHA CAPACIDAD"

JUAN - "O SEA, QUE PIENSAS QUE LE DEDICO MUCHO TIEMPO AL ESTUDIO"

VAMOS A EXPRESAR ESTO EN UN LENGUAJE MÁS FORMAL

Y AHORA EN SIGNOS DE LÓGICA PROPOSICIONAL

  { [ p ®(r V n) ] L (m®p) L m LØr Ln }®n

A) POR INTUICIÓN : hacer un esfuerzo a ver si aparece su coherencia o no

B) POR TABLA DE VALORES

{ [ p ®(r V n) ] L (m®p) L m LØr Ln }®n  

C) POR CALCULO PROPOSICIONAL

1- p ®(r V n)  Si te van bien los estudios o tienes mucha capacidad o dedicas mucho

                       tiempo a estudiar

2- m®p           Si te animan tus padres te van bien los estudios

3- m                 Te animan tus padres

4- Ør                No tienes mucha capacidad

CONC:  n        Le dedicas mucho tiempo al estudio

1- p ®(r V n)  P

2- m®p           P

3- m                 P

4- Ør                P

5- p                  RE®aa(MP)  2,3

6- r V n            RE®aa(M.P.) 5,1

7- n                  RE V                4,6   QUE ES LO QUE QUERÍAMOS PROBAR

Ficha ejercicios