Reglas de Lógica Proposicional (2)

4-Formula ción

5-Tablas de verdad

Otras reglas de lógica proposicional

 6-Tipos de proposicio nes 7-Algunas reglas
3-Signos 8-Otras reglas
2-Nociones básicas 9-Cálculo

1-Rasgos de este enfoque de la lógica

 10-Ejercicios

S.O.S.

Ejercicios con Aprende Lógica M.E.C. - Ejercicios de Lóg. proposic.(on line) Consejería de Ed. Bal.

Tú solo / a puedes aprenderla

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REGLA SEXTA: REGLA DE INTRODUCCIÓN DEL BICONDICIONAL (RI « ) 

  EJEMPLO:

"Si un número es par es divisible por dos"              p ® q

"Si un número es divisible por dos es par"              q ® p

 

"Un número es divisible por dos sólo si es par"     p « q

"Un número es par sólo si es divisible por dos"     q « p

  FORMULACIÓN  vertical p ® q                               p ® q

                                                q ® p                               q ® p

                                               p « q                               q « p

 horizontal  [ (p ® q ) L (q ® p) ] ® ( p « q )

                    [ (p ® q ) L (q ® p) ] ® ( q « p )

  DEMOSTRACIÓN

Una proposición con esta fórmula

[ (p ® q ) L (q ® p) ] ® ( p « q )

es una tautología

  p   q    p®q    q®p   (p®q )L(q ®p)  p«q   [ (p ® q )L(q ® p) ]®(p«q)

  1    1       1             1                    1                      1                                1

   1    0       0             1                    0                      0                                1

   0    1       1             0                    0                      0                                1

   0    0       1             1                    1                      1                                1                            

 

ENUNCIADO DE LA REGLA 6ª  SI ES VERDADERA LA RELACIÓN CONDICIONAL ENTRE DOS PRO POSICIONES  p Y  q ,  Y TAMBIÉN ES VERDADERA LA RELACIÓN CONDICIONAL ENTRE q Y p, ENTONCES ES VERDADERA LA RELACIÓN BICONDICIO NAL ENTRE AMBAS. NOTA: TAMBIÉN VALE  AL REVÉS.

 

REGLA SÉPTIMA: REGLA DE  ELIMINACIÓN  DE LA DISYUNCIÓN NEGANDO UN EXTREMO (RE VWØ)

ENUNCIADO DE LA REGLA: SI AFIRMAMOSQUE DOS PROPOSICIONES ESTÁN ENTRE SÍ EN RELACIÓN DE DISYUNCIÓN (INCLUSIVA O EXCLUSIVA) Y NEGAMOS UNA, AUTOMATICAMENTE PODE -MOS NEGAR LA OTRA

EJEMPLO                                             

1º "Juan aprende inglés o francés.

 Juan no aprende inglés

Luego aprende francés"

 

2º " O comes o ayunas. No comes.

Luego ayunas"

  FORMULACION        1º  pVq                  [ (  pVq ) L Øp ] ® q

                                           Øp

                                           q           

                                        

                                     2º pWq                  [ (  pWq ) L Øp ] ® q

                                           Øp

                                            q  

DEMOSTRACIÓN:

      A) ESTA PROPOSICION ES TAUTOLÓGICA  

   p    q   Øp   pVq    (  pVq ) L Øp    [ (  pVq ) L Øp ] ® q

       1     1    0      1               0                                1

       1     0    0      1               0                                1

       0     1    1      1               1                                1

       0     0    1      0               0                                1              

    B)  ESTA PROPOSICION ES TAMBIÉN TAUTOLÓGICA

  p     q     Øp    pWq        pWq ) L Øp     [ (  pWq ) L Øp ] ® q

  1      1      0       0                   0                                1

  1      0      0       1                   0                                1

  0      1      1       1                   1                                1

  0      0      1       0                   0                                1

   

REGLA OCTAVA: REGLA DE LA ELIMINACIÓN DE LA DISYUNCIÓN EXCLUYENTE ( R E  W ) MEDIANTE LA AFIRMACIÓN

  EJEMPLO:  "O comes  o ayunas. Comes. Luego no ayunas"

                     "O comes o ayunas. Ayunas. Luego no comes"

  FORMULACIÓN  

   pWq                  pWq        [ ( pWq)  L q ] ® Ø p // [ ( pWq ) L p ]  ® Ø q 

    p                       q

Ø q                   Ø p

DEMOSTRACIÓN

                  p     q    Ø q      pWq         pWq ) L p      [ ( pWq ) L p ]  ® Ø q

                       1      1       0         0                    0                           1

                       1      0       1         1                    1                           1

                       0      1       0         1                    0                           1

                       0      0       1         0                    0                           1                           

ENUNCIADO DE LA REGLA 8ª:  SI TENEMOS DOS PROPOSICIONES RELACIONADAS POR DISYUNCIÓN EXCLUYEN TE, LA AFIRMACIÓN DE UNA  LLEVA NECESARIAMENTE A LA NEGACIÓN DE LA OTRA

                                 

REGLA NOVENA: PRIMERA REGLA  DE MORGAN (R D M 1 ) O REGLA DE LA NEGACIÓN DE LA CONJUNCIÓN ( R Ø L) , O  PRIMERA DE  DISTRIBUCIÓN DE LA NEGACIÓN ( R1ª D  Ø ), O  REGLA DE INVERSIÓN DE LA CONJUN CIÓN ( R INV  L )

  EJEMPLO:   No es verdad que coma y cante                     

                        Luego o no come o no canta  

 

FORMULACIÓN       Ø ( p  L q )                 Ø ( p  L q ) ®  (Ø p V Øq )

                                   Ø p V Øq

 

DEMOSTRACIÓN

 p     q   Øp   Øq     p  L q    Ø ( pLq )   Ø pVØq   Ø(p Lq)® Ø pVØq )

1      1     1      0         0                 0                   0                                 1

1      0     0      1         0                 1                   1                                 1

0      1     0      1         1                 0                   1                                 1

0      0     0      1         1                 1                   1                                 1

ENUNCIADO DE LA REGLA 9ª SI TENEMOS UNA PROPOSICION FORMADA POR OTRAS DOS UNIDAS POR CONJUNCIÓN Y LA NEGAMOS , ENTONCES PODEMOS AFIRMAR LA PROPOSICION FOR MADA POR LAS DOS MÁS SIMPLES ANTE RIORES, NEGADAS Y RELACIONADAS POR DISYUNCIÓN INCLUYENTE.

     

DECIMA REGLA : SEGUNDA REGLA  DE MORGAN (RDM2), REGLA 2ª DE DISTRIBUCION DE LA NEGACIÓN (R2ª D  Ø ) O REGLA DE LA NEGACIÓN DE LA DISYUNCIÓN ( R Ø V) , O  REGLA DE INVERSIÓN DE LA DISYUNCIÓN ( R INV  V )

  EJEMPLO:     No es verdad que coma o cante.          

                        Luego ni come ni canta      

 

FORMULACIÓN      Ø ( p V q )          Ø ( p V q ) ® (Ø  p  L Ø q )

                                   Ø  p  L Ø q

DEMOSTRACIÓN  Como se puede ver  es una TAUTOLOGÍA  

p

q

Øp

Øq

pVq

Ø (pVq)

Ø pLØq

Ø pVq)®(Øp LØq)

 

1

1

0

0

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

1

0

1

0

0

0

0

0

1

1

0

1

1

1  

 

ENUNCIADO DE LA REGLA 10ª SI  TENE MOS UNA PROPOSICION FORMADA POR  OTRAS DOS UNIDAS POR  DISYUNCIÓN INCLUYENTE  Y LA NEGAMOS,ENTONCES PODEMOS AFIRMAR OTRA PROPOSICON QUE CONSTE DE LAS DOS ANTERIOES NEGADAS Y UNIDAS POR CONJUNCIÓN:

11ª REGLA  RRabsurdo  (RRabs): REGLA DE REDUCCIÓN AL ABSURDO.  

Si de una proposición se deriva una contradicción, esa proposición es necesariamente falsa

[ p® (qÙØq) ] ® Øp

 

p

q

Øp

Øq

qÙØq

p® (qÙØq)

 [ p® (qÙØq) ] ® Øp

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

0

1

0

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0

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0

0

1

1

0

1

1

AUGUSTUS DE MORGAN    

English mathematician and logician whose major contributions to the study of logic include the formulation of De Morgan's laws and work leading to the development of the theory of relations and the rise of modern symbolic, or mathematical, logic.

De Morgan was educated at Trinity College, Cambridge. In 1828 he became professor of mathematics at the newly established University College in London, where, except for a period of five years (1831-36), he taught until 1866, when he helped found and became the first president of the London Mathematical Society.

 One of his earliest works, Elements of Arithmetic (1830), was distinguished by a simple yet thorough philosophical treatment of the ideas of number and magnitude. In 1838 he introduced and defined the term mathematical induction to describe the process that until then had been used with little clarity in mathematical proofs.

De Morgan was among the Cambridge mathematicians who recognized the purely symbolic nature of algebra, and he was aware of the possibility of algebras that differ from ordinary algebra. In his Trigonometry and Double Algebra (1849) he gave a geometric interpretation of the properties of complex numbers (numbers involving a term with a factor of the square root of minus one) that suggested the idea of quaternions. He made a useful contribution to mathematical symbolism by proposing the use of the solidus (oblique stroke) for the printing of fractions.

The laws that bear De Morgan's name are a pair of dually related theorems that make possible the transformation of statements and formulas into alternate, and often more convenient, forms. Known verbally by William of Ockham in the 14th century, the laws were investigated thoroughly and expressed mathematically by De Morgan.

The laws are:

(1) the negation (or contradictory) of a disjunction is equal to the conjunction of the negation of the alternates--that is, not (p or q) equals not p and not q, or symbolically (p  q)  pq;

and (2) the negation of a conjunction is equal to the disjunction of the negation of the original conjuncts--that is, not (p and q) equals not p or not q, or symbolically (pq)  p  q.

Asserting that logic as it had come down from Aristotle was unnecessarily restricted in scope, De Morgan made his greatest contributions as a reformer of logic.

 The renaissance of logic studies, which began in the first half of the 19th century, came about almost entirely because of the writings of De Morgan and another British mathematician, George Boole. Alternate forms and generalizations of De Morgan laws exist in various branches of mathematics. Copyright © 1994-2000 Encyclopædia Britannica, Inc.____