El poder de la reducción al absurdo

En el apartado anterior ya hemos comprobado cómo funciona el método de las tablas de verdad para descubrir si una enunciado melecular es tautológico o no. Vimos el caso de dos fórmulas p(¬p) y (pq)[(¬p)(¬q)] que resultaron ser tatutologías, puesto que todas sus posibles interpretaciones eran verdaderas.

A continuación aprenderemos un método abreviado, llamado reducción al absurdo para conseguir el mismo objetivo. El método de reducción al absurdo es un método general de razonamiento que consiste en suponer lo contrario de lo que se busca demostrar, de forma que esto queda demostrado si a partir de dicha suposición se llega a una contradicción, a un resultado imposible.

Veamos en la práctica cómo funciona este método para averiguar si estamos ante una tautología o no.

Ejemplo primero

Tomemos, para un primer ejemplo, el caso de la fórmula: p(¬p)

Construiremos una tabla que nos ayude a llevar adelante todo el proceso, con tantas celdillas como proposiciones y conectivas tenga la fórmula objeto de análisis:

p (¬ p)
       

A continuación suponemos lo contrario de lo que queremos demostrar, esto es, suponemos que la conectiva principal (la disyunción, en este caso) es falsa:

p (¬ p)
  F    

Para que la disyunción sea falsa, tenemos que suponer que los dos términos que la componen sean falsos simultáneamente (siguiendo la definición de la disyunción que ya conocemos). Por lo tanto:

p (¬ p)
F
F
F
  

Vemos en este caso que nos encontramos con una contradicción, pues, según la definición de la negación, si la negación de un enunciado es falsa, dicho enunciado ha de ser verdadero (y viceversa).

¡Contradicción!
p (¬ p)
F
F
F
V

Nos econtramos que p=F y que p=V, y eso no puede suceder simultáneamente, es contradictorio

¿Qué significa que nos encontremos con esta contradicción? Cuando al suponer que un enunciado es falso y nos encontramos con una contradicción, lo que sucede es que no hay ninguna posible interpretación del enunciado bajo estudio [en nuestro caso p(¬p)] que haga falso a dicho enunciado. Y si no hay ninguna posible interpretación que lo haga falso, entonces ha de ser una tautología por fuerza (bajo cualquier posible interpretación el enunciado será verdadero.

Ejemplo segundo

Practiquemos el método de reducción al absurdo con el otro enunciado que ya sabemos que es tautológico: (pq)[(¬p)(¬q)]

Construiremos una tabla que nos ayude a llevar adelante todo el proceso, con tantas celdillas como proposiciones y conectivas tenga la fórmula objeto de análisis:

(p q) [(¬ p) (¬ q)]
                 

A continuación suponemos lo contrario de lo que queremos demostrar, esto es, suponemos que la conectiva principal (la disyunción, en este caso) es falsa:

(p q) [(¬ p) (¬ q)]
     
F
          

Para que la disyunción sea falsa, tenemos que suponer que los dos términos que la componen sean falsos simultáneamente (siguiendo la definición de la disyunción que ya conocemos). Por lo tanto:

(p q) [(¬ p) (¬ q)]
 
F
  
F
    
F
    

Centrémonos en el sub-enuciado (pq) de la izquierda, cuya conectiva principal es una conjunción. Para que sea falso, es imprescindible que al menos uno de los dos enunciados atómicos que lo componen (p, q) sea falso. Supongamos que p es falso y q verdadero o falso.

(p q) [(¬ p) (¬ q)]
F
F
F
    
F
    

Ahora centrémonos en el otro sub-enunciado de la conectiva principal, el de la derecha: [(¬p)(¬q)]. Se trata, a su vez, de otra disyunción. Por lo tanto, para ser falsa han de ser falsos sus dos componentes (que son dos negaciones):

(p q) [(¬ p) (¬ q)]
F
F
F
F
  
F

F

  

Por último, ya podemos averiguar el valor de verdad de la otra p y de la otra q: en este caso, forzosamente, tanto p como q han de ser verdaderos, pues sabemos que sus negaciones son falsas. Y nos encontramos con una contradicción: en el sub-enunciado (pq) p es falso, y en [(¬p)(¬q)], p es verdadero.

¡Contradicción!

(p q) [(¬ p) (¬ q)]
F
F
F
F

V

F

F

V

Observa que para que en el segundo sub-enunciado [(¬p)(¬q)] sea falso forzosamente tanto p como q han de ser verdaderas, y que eso es incompatible con la necesidad de que al menos haya una falsedad en el primer sub-enunciado (pq). En consecuencia, también en este segundo ejemplo todas las posibles interpretaciones dan un resultado de verdad en la disyunción principal, y estamos ante una tautología.

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