El bicondicional

El bicondicional (o coimplicación)

Ya hemos comprobado que pq no es lo mismo que qp. Puede ocurrir, sin embargo, que tanto pq como qp sean verdaderos. Por ejemplo, si p:"La Tierra es cúbica", y q:"El Sol es un planeta", entonces tanto pq como qp son verdaderos, porque tanto p como q son falsos. Es necesario tener esto en cuenta para entender bien el concepto de coimplicador.

Mediante el coimplicador lo que queremos decir es que un enunciado es a la vez condición necesaria y suficiente para otro. Así, si digo que p: "apruebo Filosofía" y q: "saco un 5 o más en el examen de Lógica" la fórmula pq significa "apruebo Filosofía si y sólo si saco un 5 o más en el examen de Lógica". Con este "si y sólo si" quiero poner de manifiesto tres cosas:

  1. Al introducir el primer condicional "si" (en "si y sólo si"), introduzco el antecedente, y por tanto afirmo que pq, (es decir aprobaré Filosofía si saco 5 o más en el examen de Lógica),
  2. Al introducir "sólo si" (en "si y sólo si"), introduzco el consecuente, buscando comunicar que qp, (es decir, que si saco un 5 o más en el examen de Lógica, entonces apruebo la Filosofía), y
  3. Al utilizar la partícula "y" (en "si y sólo si"), quiero comunicar la conjunción de pq con qp.

Así pues, el enunciado "apruebo Filosofía si y sólo si saco un 5 o más en el examen de Lógica" se puede formalizar de dos formas equivalentes: (pq)(qp), o bien pq.

En consecuencia, el enunciado pq queda definido por el enunciado (pq)(qp). Por esta razón, el símbolo se llama bicondicional, y la tabla de verdad para pq es la misma que la de (pq)(qp).

El bicondicional

El bicondicional o coimplicador pq, que se lee "p si y sólo si q" o "p es equivalente a q", se define por la siguiente tabla de verdad:

p
q
pq
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V

La doble flecha horizontal es el operador bicondicional

Fíjate que de la observación de la tabla de verdad deducimos que para que pq sea verdadera, tanto p como q han de tener los mismos valores de verdad, y en caso contrario es falsa.

La formalización del bicondicional

El coimplicador puede tener varias expresiones equivalentes en lenguaje natural. Así pq es la formalización de las siguientes expresiones de lenguaje natural:

Fíjate que pq y qp tendrían totalmente los mismos valores de verdad, puesto que ambas son coimplicaciones y por lo tanto si sus valores de verdad son los mismos, son verdaderas, y son falsas en los demás casos. En consecuencia, podemos reformular los enunciados anteriores intercambiando p y q:

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